Giám mục Giuse Võ Đức Minh sinh ngày 10 tháng 9 năm 1944, tại Mỹ Đức, thuộc Giáo xứ Tam Tòa, phường Đồng Hải, thành phố Đồng Hới, tỉnh Quảng Bình thuộc Tổng giáo phận Huế.[1] Ông là người con thứ ba và là con trai trưởng trong gia đình có bảy người con (3 gái, 4 trai). Cha ông là ông Giuse Võ Đức Mẫn (1912 – 2000) thuộc giáo họ Mỹ Đức, giáo xứ Tam Tòa; mẹ ông là bà Isave Nguyễn Thị Trà (1914 – 1997) cũng thuộc giáo xứ Tam Tòa.[2][3]

Năm Võ Đức Minh lên 7 tuổi (1951), cậu theo gia đình rời giáo xứ Tam Tòa, Đồng Hới, Quảng Bình, vào định cư tại giáo xứ Thánh Nicolas, Thành phố Đà Lạt.[2] Cậu bé Minh sau đó được gia đình cho học Tiểu học tại Đà Lạt.[3]

Con đường tu học của Võ Đức Minh bắt đầu khi gia đình cho cậu nhập học tại Tiểu Chủng viện Sài Gòn năm 1956. Sau khi tốt nghiệp Tiểu chủng viện năm 1965, cậu bé Minh học Triết học tại Đại chủng viện Thánh Giuse Sài Gòn. Năm 1966, giám mục Simon Hòa Nguyễn Văn Hiền gửi chủng sinh Võ Đức Minh học tiếp chương trình Đại chủng viện Triết học và Thần học tại Ðại chủng viện Fribourg, Thụy Sĩ.[1] Cụ thể, chủng sinh Minh học tại Đại Chủng viện Thánh Carôlô của Giáo phận Fribourg, Lausanne và Genève tại Thụy Sĩ, để tiếp tục học Triết học và Thần học tại Phân Khoa Thần học của Đại học Fribourg. Cùng trong khoảng thời gian này, Võ Đức Minh được huấn luyện và học bổ sung về mục vụ tại Đại Chủng viện Giáo phận Fribourg.[2]

Mùa hè năm 1969, Võ Đức Minh theo học tiếng Đức tại Goethe Institut, Passau ở vùng Niederbayern, Đức. Vào mùa hè năm 1970, ông tham dự Khóa học hỏi và nghiên cứu về Kinh Thánh tại Thánh địa Jerusalem.[2]

Hỗ trợ chủng sinh Giuse Võ Đức Minh trong quá trình tu học là nghĩa phụ, linh mục Gioan Baotixita[4] Trần Thái Huân (1930 – 2017).